Hola Annalour
Como bien te dice Dorrino en Livorno desde cada barco hay un shuttle que pone el puerto hasta la Piazza del Municipio, o algo así, que cuesta 5€ ida y vuelta (creo que se puede coger las veces que quieras, pero eso no te lo aseguro), se paga en el autobús mismo, que está a pie de barco.
Además las compañias suelen poner otro autobús lanzadera,el de NCL por ejemplo cuesta 12$$ y te deja en la estación de tren de Livorno o en un centro comercial que hay por allí
Espero haberte aclarado algo
Un saludo