Hola Michu ^^
pues mi consejo es el siguiente, ya que vas hacia el puerto aprovecharia desde alli para pasear por las ramblas, así verias también la estatua de Colón que está justo entre Puerto y ramblas, si sigues hacia arriba de las ramblas paseando llegarias a Plaza Catalunya, con sus tropocientas palomas!!! Justo al lado se encuentra el Portal del Angel, ideal para hacer compras y un poco más adelante el barrio gótico, que es muy bonito.
Al lado de la Plaza Catalunya (en sentido contrario al Portal del Angel) está Paseo de Gracia, calle grande donde estan la Casa Batlló y la Pedrera de Gaudí.
Esa parte és el centro, aps, en las Ramblas está el mercado de la Boqueria, parece una tonteria pero ahi muchas cosas curiosas. Esta todo muy juntito, pero puedes preguntar a las tropocientas personas que ahi por la zona para llegar segura a los sitios.
Para ir a la Sagrada Familia puedes cojer el metro desde Paseo de Gracia, linia lila, la 2, dirección Pep Ventura y en tres paradas estás en Sagrada Familia, que es preciosa y te la recomiendo.
Lo de la fuente... como no sea la de Montjuic no se me ocurre otra, a ver es bonito pero a mi gusto no es lo más resaltante de barcelona.
Un consejo, cuidado con las zonas centricas para tomarte algo, puedes hipotecarte por una simple cerveza!!! xD
Y en la parada de metro de Glorias, linia roja, nada más salir encuentras la torre Agbar, famosa por su forma curiosa...
Cualquier duda ya sabes

espero que te ayude en algo
Saludos!!!